在伽利略发现单摆的等时性之后，1637 年，他在与一位朋友的信中写道：“单摆可作为计时器，它是如此精确以至于在任何地方，任何季节都能准确无误地记录无论多么小的时间间隔。”
单摆示意图
现在我们知道，伽利略是错的。
单摆的周期与振幅的关系
单摆的周期并非严格不变，而是随振幅增加而增大。只是当摆角较小（例如在 以内）时，周期的变化几乎可以忽略。
那么，如何才能使摆的周期完全取定值呢？
这个问题由荷兰物理学家惠更斯（Christiaan Huygens，1629~1695）解决。
作为 17 世纪除牛顿之外的最重要的物理学家之一，惠更斯的研究涉及数学、天文、力学和光学等领域，作出了杰出的贡献。
例如，他首次推导出单摆的周期公式和离心力公式，首次发现了土卫六，尤其是他提出了光的波动学说，并基于他提出的所谓惠更斯原理解释了光的各种现象，影响深远。
作为一位极致的天才科学家，年轻的惠更斯发表了大量的科学著作。但自 1650 年代开始，惠更斯转而全身心投入到改进时钟性能所涉及的机械和数学问题中，这项工作几乎占据了他整个科学生涯的大部分时间。
为什么惠更斯对钟表问题如此着迷，除了他自身兴趣之外，一个重要的原因是，在 17 世纪时，荷兰作为海上强国，制造精准的时钟，是一项极为重要的科技攻关项目。
1656年，当惠更斯最初设计摆钟时，他使用了一种技巧来提升摆的等时性。
惠更斯研究发现，摆球在偏离竖直方向较远的地方，速度较小，如果使其轨迹在靠近两端的位置变得更为陡峭一些，那么将通过加速来抵消延时。
于是，惠更斯制作了两个曲面，它们的上端靠在一起，下端向外张开，形成如下图所示的喇叭状的区域。将一个摆吊在两曲面的交界处，让摆在这个区域里摆动。
当单摆摆动时，摆绳会部分地被曲面顶住，从而导致摆在越偏离竖直位置，其摆绳变得越短。这样一来，就实现了他原来的设想————轨迹在靠近两端的位置变得更陡峭一些。
惠更斯的措施取得了很好的效果，摆钟的周期在较大角度的摆角范围内具有几乎不变的周期。
他很快意识到，摆球的轨迹是决定因素。他坚信，当摆球沿某种特定的轨迹摆动时，其摆动将具有完全的等时性。
那么，这种轨迹应该满足什么条件呢？
自 1659年起，惠更斯着手对此问题的理论研究。他试图确定这种神奇的曲线所具有的数学特征。
不久之后，惠更斯发现，这个轨迹与他之前研究的一种曲线相似，该曲线是平面上匀速滚动的轮子的边缘上一点的运动轨迹，它的名字叫旋轮线。
旋轮线示意图
考虑一个半径为 的轮子，轮子在水平面上向右做纯滚动，所谓纯滚动，即绕轮子中心的角速度与轮子中心对地的线速度之间满足关系：
我们来考虑边缘上一点 P 的运动。
设 0 时刻时，p 点在最低点，选择此时 P 下方的地面位置为原点 O，选择 轴向右， 轴向上。
设 时刻，轮子转过了 角，则轮子中心 Q 的坐标为
而 P 点相对于 Q 点做圆周运动，相对位置为
则得 P 点的绝对位置为
取 ，得 得图像如下。
那么，如何证明沿旋轮线运动的摆具有等时性呢？
关于这个问题，1673 年，惠更斯在他的著作《The Pendulum Clock》中给出了一种基于几何方法的冗长的证明，过于繁琐，这里就不介绍了。
实际上，这个问题可通过微积分严格证明。
设摆球的初始位置为 ，其轨迹的最低点为原点 。
摆球由静止开始沿轨迹下降，只有重力做功，当摆球下降到 处时，根据动能定理
故得
根据
故质点滑到最低处用时为
联立以上各式得
此积分可由阿贝尔变换求解，此处略。总之，经过一番不太简单的计算后，得如下结果：
设 ，则得
其中 ，与旋轮线相比，仅 前面的符号相反。
同样取 ，图像如下所示。
该曲线看起来与旋轮线形状相同，只是平移半个周期再上下颠倒了而已。
实际上，只要将前面轮子的旋轮线的坐标原点向上平移 ，并将 轴改为向下，此时轮子的最高点运动所对应的旋轮线，即为惠更斯钟摆的运动轨迹。
换句话说，该曲线它就是货真价实的旋轮线。
由此证明，旋轮线的半个周期内的曲线，就是惠更斯所寻找的等时摆的轨迹。
根据旋轮线的特点，前面的系数 是滚轮的半径，它显然是定值，故可知上式中的 是常量，其值为
但 只是摆的 1/4 周期，摆的周期 为
至此说明，沿旋轮线运动的摆，具有等时性！
小球沿旋轮线运动，周期与振幅无关
换句话说，无论摆的振幅是多少，沿确定旋轮线运动的摆，其周期都不变。
但问题又来了，如何让摆球沿旋轮线运动呢？
惠更斯之前用两个背靠背的曲面来提升单摆的等时性。那么，什么样的曲面能令单摆的摆球的运动轨迹刚好是一条旋轮线呢？
奇迹出现了！
惠更斯发现，这个曲面上与摆绳共面的曲线也是旋轮线！
为什么是这样？诸君有兴趣的可以自行证明。
总之，只要按旋轮线的形状制作两个曲面，将其背靠背固定在一起，则在它们下方张开的空间内摆动的单摆，其运动轨迹刚好也为旋轮线。
沿旋轮线运动的摆
至此，惠更斯从理论上找到了实现等时性的方法。1657 年，惠更斯成为第一个制造出精确摆钟的人。
惠更斯并没有因此而停止，他继续在钟表技术领域深耕。为此，他甚至将毕生的财富都投进了计时器技术的研究中。
1659 年，他又制造出另一种全新的时钟，它不是用摆来计时，而是采用一根在弹簧的拉动下振动的轮子————即所谓平衡轮，来计时。
为了使平衡轮能持续振动，惠更斯又发明了擒纵轮，它的作用是，当平衡轮每次经过平衡位置时，擒纵轮就轻触它一下，以补充能量，从而维持其不断振动。
平衡轮与擒纵轮结构示意图
自此，惠更斯提出的平衡轮和擒纵轮成为传统钟表的核心结构，直到现在，这一结构仍然是所有机械钟表的技术标准。
但令人遗憾的是，直到惠更斯去世，他都并没能成功地研制出适合海上航行条件、精确到可以测量经度的航海计时器。
没有达成最终目标，这也许是惠更斯的一大遗憾。但对我们来说，他执着的科学研究精神，他的数十年如一日的专注和不懈的努力，永远值得所有人学习。
参考文献
https://www.worldhistory.org/Christiaan_Huygens/\nhttp://www.antique-horology.org/thuret/huygensthureteng.htm\nhttps://www.britannica.com/science/cycloid
来源：妙含物理
原标题：怎样摆才能严格等时？
编辑：yhc
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